欧拉筛

• 1. 传统找质数的方法（优化筛选次数）
• 2. 欧拉筛

1. 传统找质数的方法（优化筛选次数）

bool isPrime(int num) {
    for(int i=2;i<=sqrt(num)) {
        if(num%i==0)
            return false;
    }
    return true;
}

• 如果要找从 $[1,1e6]$ 中的所有质数，时间复杂度很高

2. 欧拉筛

• 算法思想：遍历到 $2$ 的时候，筛掉范围内所有 $2$ 的倍数（因为除了 $1$ 和自身以外，一定能被 $2$ 整除），到 $3$ 的时候，筛掉所有 $3$ 的倍数···
• 注意：如果计算 $[l,r]$ 之间出现的质数的个数？可以用前缀和的思想；当 $n$ 过大时，$i×i$ 容易出现数组越界的错误，即可能 $RuntimeError$ ，此时要将线性筛中第二个 $for$ 中的 $j=i×i$ 改为 $j=i+i$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5;
int f[N]; // 下标为i时,记录1~i出现的所有质数的数量
bool vis[N]; // 是否已经访问过
int p[N]; // 用于存放素数
int idx,n; // idx是存放素数的遍历因子
void get_primes(int n)
{
	f[1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		// 如果vis[i]为false才需要遍历
		if(!vis[i]){
			f[i]=f[i-1]+1; // 计算前缀和
			p[++idx]=i; // 是素数,存起来
            // 如果出现RuntimeError,将j=i+i,这样就不会数组越界
			for(int j=i*i;j<=n;j+=i) // 将素数i的倍数全部标记为合数,则无需遍历
				vis[j]=true;
		} else 
			f[i]=f[i-1]; // 向下传递素数个数
	}
}

int main()
{
	// 如:输入1000即打印0~1000以内的素数
	cin>>n;  
	int l,r; // 左右区间
	cin>>l>>r;
	get_primes(n);
	cout<<"1~"<<n<<"之间的素数分别是:";
	for(int i=1;i<=idx;i++) {
		cout<<p[i];
		if(i!=idx)
			cout<<",";
	}
	cout<<endl;
	cout<<l<<"~"<<r<<"所出现的素数个数为:"<<f[r]-f[l-1]<<endl;
	return 0;
}

• 最简单的模板

const int N=5e4+5; // 注意这里没有开到2^9,只要比sqrt(2^9)大即可
int primes[N],cnt;
bool st[N];
int ans[N],len;

// 线性筛模板
void get_primes(int n) {
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(!st[i]) primes[cnt++]=i;
		for(int j=0;primes[j]*i<=n;j++) {
			st[primes[j]*i]=true;
			if(i%primes[j]==0) break;
		}
	}
}

// 为什么特判x>=N的情况?因为为了节省内存或者没必要,本题中只要保证MAXN比sqrt(理论最大值)大即可
bool is_prime(int x) {
	if(x<N) return !st[x];
	for(int i=0;primes[i]<=x/primes[i];i++)
		if(x%primes[i]==0)
			return false;
	return true;
}

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