递推

• 一本通 1188：菲波那契数列(2)
• 一本通 1189：Pell数列
• 一本通 1190：上台阶

一本通 1188：菲波那契数列(2)

题目链接：信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

• 斐波那契数列问题我们经常用递归解决，但是本题由于数据范围比较大，所以递归层数会非常多，会遇到爆栈的问题，必定会TLE

int fib(int n) {
    if(n==1 || n==2) return 1;
    return fib(n-1)+fib(n-2);
}

• 因此我们选择用递推解决，同时还有一个问题，题目要求的是菲波那契数列中第$a$个数对$1000$取模得到的结果，我们只需要在计算$Fibonacci$数列的时候一边计算一边对$1000$取模就可以了，这并不会最终结果
• 如果我们不一边计算一边取模，而是对单独我们要的那个值进行取模会遇到什么结果？在计算数列的时候就已经爆$int$、$long\ long$了，那么在累加求解的过程中就会溢出，最终得到的是负数

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 想想能不能用递归做呢?不能,因为数据范围很大,递归会爆栈,一定会TLE
//int fib(int n) {
//	if(n==1 || n==2) 
//		return 1;
//	else 
//		return (fib(n-1)+fib(n-2))%1000;
//}

const int N=1e6+5;
int fib[N];
int n;

int main() {
	cin>>n;
	int temp;
	// 预处理计算出所有的fib,再处理查询
	// 初始化:
	fib[1]=fib[2]=1;
	for(int i=3;i<=N;i++) {
		fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%1000;
	}
	while(n--) {
//		scanf("%d",&temp);
//		cout<<fib(temp)%1000<<endl;
		// 用递推做法
		scanf("%d",&temp);
		cout<<fib[temp]<<endl;
	}
	return 0;
}

一本通 1189：Pell数列

题目链接：信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

• 当作业咯

一本通 1190：上台阶

题目链接：信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

• 其实这道题是动态规划中线性$DP$中非常经典的题目，非常适合新手初步接触动态规划类型题目，从动态规划的四要素来分析该问题

1. 状态表示，$dp[i]$：到达第$i$步台阶的方案数
2. 初始化，$dp[1]=1$，到达台阶一的方案只有一种，那就是直接走一步，$dp[2]=2$，到达台阶二的方案有两种，那就是走两个一步，或者直接走两步，$dp[3]=4$，到达台阶三的方案有四种，要么走四个一步，要么走两个两步，要么先走两步，再走两个一步，要么先走两个一步，再走一个两步
3. 状态转移，$dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dpi-3$：到达第台阶$i$要么是从第$i-1$步台阶走一步上来的，要么是从第$i-2$步台阶走两步上来的，要么是从第$i-3$步台阶走三步上来的
4. 目标值，要求到达第$n$步台阶方案数，所以直接输出$dp[n]$即可

• 注意就算最大台阶只有$70$步，但数据增长速度很快，所以需要开$long \ long$才能通过

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 

const int N=70+5; // 最大台阶数
ll dp[N];
int n;

int main() {
	// 初始化
	dp[1]=1;
	dp[2]=2;
	dp[3]=4;
	// 预处理所有方案
	for(int i=4;i<=N;i++) {
		dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3];
	}
	while(cin>>n && n!=0) {
		cout<<dp[n]<<endl;
	}
	return 0;
}

打赏